Trong không gian với hệ tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và hai điểm $A(2;-1;0)$, $B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị biểu thức $Q=3a+9b+2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Vì A, B cùng phía: A' = (0;0;-1), AA' = √6; B' = (√3; √3; -1-√3), BB' = 6√3/√6 = 3√2. Trong mặt phẳng, A'B' = √(3+3+3) = 3. Với M thuộc (P): MA = √(MA'²+6), MB = √(MB'²+18). Chọn trục Ox trên (P) chứa A'B' (A'=(0,0), B'=(3,0)). Xét đạo hàm theo phương vuông góc: điều kiện tới hạn 7y/√((x-3)²+y²+18) = y/√(x²+y²+6) với y≠0 dẫn đến 47x²+48y²+6x+285=0 (vô nghiệm vì luôn dương), nên cực trị nằm trên trục, y=0. Cần min g(x) = 7√((x-3)²+18) - √(x²+6). g'(x)=0 ⇒ 7(x-3)√(x²+6) = x√((x-3)²+18), với x(x-3)≥0. Bình phương: (x-3)²(8x²+49) = 3x² ⇔ 8x⁴-48x³+118x²-294x+441=0 = (2x-7)(4x³-10x²+24x-63). Nghiệm x=7/2 thỏa mãn (khi đó (x-3)²+18 = x²+6 = 73/4 nên 7·(1/2) = 7/2 ✓); nghiệm của khối lập phương ≈2.6 bị loại do không thỏa x(x-3)≥0. Vì g→+∞ khi x→±∞ nên x=7/2 cho giá trị nhỏ nhất: T = 6√(73/4) = 3√73. Vậy a=3, b=73, Q = 3·3 + 9·73 + 2025 = 9+657+2025 = 2691.