Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ tại vị trí $A$, $B$, $C$ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 10 mét, 9 mét, 8 mét. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 mét.



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với $B$ thuộc tia $Ox$, $C$ thuộc tia $Oy$, tia Oz cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 mét (xem hình vẽ).

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai.

a) Ta có $A(0;-4;0)$, $B\left(4\sqrt{3};0;0\right)$, $C(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;-4;10)$, $B^{\prime }\left(4\sqrt{3};0;9\right)$, $C^{\prime }(0;4;8)$.

b) Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(4\sqrt{3};4;-1\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-4\sqrt{3};4;-1\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có một vectơ pháp tuyến là $$\vec{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(0;8\sqrt{3};32\sqrt{3}\right)=8\sqrt{3}(0;1;4).$$ Vậy phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $y+4z-36=0$.

c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\vec{n}=(0;1;4)$. Ta có $\cos \left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)=\frac{\left|0+0+4\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$. Suy ra $\left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)\approx 14^{\circ }$. Vậy độ dốc của mái nhà trên không ở mức tiêu chuẩn.

d) Gọi $I\left(a;b;c\right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $$\{\begin{array}{l}I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\\ I{A}^{\prime }=I{B}^{\prime }\\ I{A}^{\prime }=I{C}^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=(a-4\sqrt{3}{)}^2+b^2+(c-9{)}^2\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=a^2+(b-4{)}^2+(c-8{)}^2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ 8\sqrt{3}a+8b-2c=13\\ 16b-4c=-36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{31}{8\sqrt{3}}\\ b=0;c=9\end{array}$$ Vậy $I\left(\frac{31}{8\sqrt{3}};0;9\right)$, khi đó điểm $I$ cách mặt sàn một khoảng là 9 mét.
a) a) Ta có $A(0;-4;0)$, $B\left(4\sqrt{3};0;0\right)$, $C(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;-4;10)$, $B^{\prime }\left(4\sqrt{3};0;9\right)$, $C^{\prime }(0;4;8)$.
b) b) Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(4\sqrt{3};4;-1\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\left(-4\sqrt{3};4;-1\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có một vectơ pháp tuyến là $$\vec{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(0;8\sqrt{3};32\sqrt{3}\right)=8\sqrt{3}(0;1;4).$$ Vậy phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $y+4z-36=0$. (Kết quả lời giải khớp phát biểu nhưng đáp án chính thức ghi Sai.)
c) c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\vec{n}=(0;1;4)$. Ta có $\cos \left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)=\frac{\left|0+0+4\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$. Suy ra $\left((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\right)\approx 14^{\circ }$. Vậy độ dốc của mái nhà trên không ở mức tiêu chuẩn. (Đáp án chính thức ghi Đúng dù lời giải kết luận 'không ở mức tiêu chuẩn' — giữ nguyên theo nguồn.)
d) d) Gọi $I\left(a;b;c\right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $$\{\begin{array}{l}I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\\ I{A}^{\prime }=I{B}^{\prime }\\ I{A}^{\prime }=I{C}^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=(a-4\sqrt{3}{)}^2+b^2+(c-9{)}^2\\ a^2+(b+4{)}^2+(c-10{)}^2=a^2+(b-4{)}^2+(c-8{)}^2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}b+4c=36\\ 8\sqrt{3}a+8b-2c=13\\ 16b-4c=-36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{31}{8\sqrt{3}}\\ b=0;c=9\end{array}$$ Vậy $I\left(\frac{31}{8\sqrt{3}};0;9\right)$, khi đó điểm $I$ cách mặt sàn một khoảng là 9 mét. (Lời giải khớp phát biểu nhưng đáp án chính thức ghi Sai — giữ nguyên theo nguồn.)