Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 20cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị cm² và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $R=20$ có cạnh $a=R\sqrt{2}=20\sqrt{2}$, khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh là $d=\frac{a}{2}=10\sqrt{2}$. Mỗi tấm ván là hình chữ nhật nằm trong hình cầu phân (giữa cạnh hình vuông và cung tròn), với cạnh dưới nằm trên cạnh hình vuông, hai đỉnh trên thuộc đường tròn. Gọi $2x$ là chiều ngang, $y$ là chiều cao. Đỉnh trên có tọa độ $(x,d+y)$ nên $x^2+(d+y{)}^2=400$, suy ra $y=\sqrt{400-x^2}-10\sqrt{2}$. Diện tích $S(x)=2x\left(\sqrt{400-x^2}-10\sqrt{2}\right)$, $0<x<\sqrt{200}$.
$S^{\prime }(x)=0\iff \sqrt{400-x^2}-10\sqrt{2}=\frac{x^2}{\sqrt{400-x^2}}\iff \frac{400-2x^2}{\sqrt{400-x^2}}=10\sqrt{2}$.
Bình phương: $(400-2u{)}^2=200(400-u)$ với $u=x^2$ $\Rightarrow u^2-350u+20000=0\Rightarrow u=\frac{350-50\sqrt{17}}{2}\approx 71,92$ (nghiệm còn lại cho $y<0$, loại).
Khi đó $x\approx 8,48$, $y=\sqrt{400-71,92}-10\sqrt{2}\approx 3,97$, $S\approx 2(8,48)(3,97)\approx 67,35$ cm².
Kiểm tra $S$ tại biên bằng 0 nên đây là giá trị lớn nhất. Làm tròn: $S_{\max }\approx 67,3$ cm², khớp đáp án nguồn.