Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng 4m. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều. Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi đáy là hình thoi $ABCD$ cạnh $4$, hai mặt bên kề nhau là tam giác đều: $SAB$ và $SAD$ đều, suy ra $SA=SB=SD=4$. Gọi $\alpha =\angle DAB$, diện tích đáy $S_{ABCD}=16\sin \alpha$. Tam giác $ABD$ có $AB=AD=4$, $BD=8\sin (\alpha /2)$, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{4\cdot 4\cdot 8\sin (\alpha /2)}{4\cdot \frac{1}{2}\cdot 16\sin \alpha }=\frac{2}{\cos (\alpha /2)}$. Vì $S$ cách đều $A,B,D$ nên hình chiếu của $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, do đó $h^2=S{A}^2-R^2=16-\frac{4}{{\cos }^2(\alpha /2)}$. Thể tích $V=\frac{16}{3}\sin \alpha \cdot h$, xét $f^2={\sin }^2\alpha \left(16-\frac{4}{c^2}\right)$ với $c=\cos (\alpha /2)$: $f^2=16(1-c^2)(4c^2-1)$. Đặt $g(c)=(1-c^2)(4c^2-1)=5c^2-1-4c^4$, $g^{\prime }(c)=10c-16c^3=0\Rightarrow c^2=\frac{5}{8}$. Khi đó $h^2=16-\frac{4}{5/8}=16-\frac{32}{5}=\frac{48}{5}$, $h=\sqrt{9,6}\approx 3,0984\approx 3,1$ m.