Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng $4m$. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều. Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi đáy là hình thoi $ABCD$ cạnh $4m$, hai mặt bên kề nhau là các tam giác đều là $SAB$ và $SAD$ (chung cạnh $SA$). Khi đó $SA=SB=SD=4m$, chân đường cao $H$ của chóp là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, nằm trên đường chéo $AC$. Gọi $AC=d$, $BD=e$ thì $d^2+e^2=4\cdot 4^2=64$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$: $R=\frac{AB\cdot AD\cdot BD}{4S_{ABD}}=\frac{16e}{4\cdot \frac{de}{2}}=\frac{8}{d}$, nên $h^2=16-\frac{64}{d^2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{de}{2}\cdot h=\frac{1}{6}\sqrt{(64-d^2)(16d^2-64)}=\frac{2}{3}\sqrt{(64-d^2)(d^2-4)}$. Đặt $u=d^2$, hàm số $(64-u)(u-4)$ đạt max tại $u=34$ (vì $64+34-4$... tổng hai đại lượng $64-u+u-4=60$ không đổi), giá trị max $V=\frac{2}{3}\sqrt{30\cdot 30}=\frac{2}{3}\cdot 30=20m^3$. Khi đó $h^2=16-\frac{64}{34}=16-\frac{32}{17}=\frac{240}{17}$, suy ra $h=\sqrt{\frac{240}{17}}\approx 3,757\approx 3,8m$. Vậy chiều cao của túp lều là $3,8m$. (Lưu ý: thể tích lớn nhất đúng bằng $20m^3$, không phải $\frac{20\sqrt{6}}{3}$; đáp số chiều cao $3,8m$ không đổi.)