Phương trình $2026^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn $[-5\pi ;2026\pi ]$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$. Vì ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ nên $\sqrt{2-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1+t^2}$. Phương trình trở thành $2026^t=t+\sqrt{1+t^2}$. Xét $f(t)=2026^t-t-\sqrt{1+t^2}$ trên $[-1;1]$, có $f(0)=1-0-1=0$. Với $t>0$: do $2026^t\ge 1+t\ln 2026$ (tính lồi) và $\sqrt{1+t^2}\le 1+t(\sqrt{2}-1)$ (đồ thị nằm dưới dây cung trên $[0;1]$) nên $t+\sqrt{1+t^2}\le 1+t\sqrt{2}<1+t\ln 2026\le 2026^t$ (vì $\ln 2026>\sqrt{2}$), tức $f(t)>0$: không có nghiệm với $t>0$. Với $t<0$: $f(-1)=\frac{1}{2026}+1-\sqrt{2}<0$; $f^{\prime }(t)=\ln 2026\cdot 2026^t-1-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, $f^{\prime \prime }(t)=(\ln 2026{)}^{2}2026^t-\frac{1}{(1+t^2{)}^{3/2}}$ đổi dấu đúng một lần nên $f^{\prime }$ giảm rồi tăng; vì $f^{\prime }(-1)<0$ và $f^{\prime }(0)=\ln 2026-1>0$ nên $f^{\prime }$ có đúng một nghiệm trên $(-1;0)$, suy ra $f$ giảm rồi tăng trên $(-1;0)$. Kết hợp $f(-1)<0$, $f(0)=0$ ta được $f(t)<0$ trên $(-1;0)$: không có nghiệm với $t<0$. Vậy phương trình chỉ có nghiệm khi $t=0$, tức $\sin x=0\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[-5\pi ;2026\pi ]$ ta cần $-5\le k\le 2026$, cho $2026-(-5)+1=2032$ nghiệm. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 2032.