Rút gọn các biểu thức sau:

a. $A={\sin }^2(3\pi -\alpha )+{\sin }^2\left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)$

b. $B=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin (\pi -x)-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cos (\pi -x)$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) Ta có $\sin (3\pi -\alpha )=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (do $\sin (k\pi +\beta )=\pm \sin \beta$ với $k$ nguyên, cụ thể $\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha$). Tương tự $\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$. Do đó:
$$A={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

b) Áp dụng công thức cung liên kết:
- $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$
- $\sin (\pi -x)=\sin x$
- $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$
- $\cos (\pi -x)=-\cos x$

Suy ra:
$$B=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$