Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\left(m^3\right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0003x^2$ triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200m^3$. Gọi $C(x)$ là chi phí sản xuất $x\left(m^3\right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\bar{c}(x)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất: $C(x)=3+0,15x+0,0003x^2$ (triệu đồng), với $0<x\le 200$.
a) $C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng $\ne 20$ triệu đồng → Sai.
b) $\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ → Đúng.
c) $C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5 → Sai.
d) ${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x^2=10000\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$). Vì ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, khi đó $\bar{c}(100)=0,03+0,15+0,03=0,21$ triệu đồng → Đúng.
Khớp đáp án nguồn (trang 8): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng, không phải 20 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$); ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100m^3$, $\bar{c}(100)=0,21$ triệu đồng.