Tìm được trên đồ thị $(C)$: $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ hai điểm $M(a;b)$ và $N(c;d)$ có khoảng cách đến đường thẳng $3x+y+6=0$ nhỏ nhất. Khi đó tính giá trị biểu thức $T=a+b+c+d$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$ (với $x\ne -2$). Khoảng cách từ điểm $(x;y)$ trên $(C)$ đến đường thẳng $3x+y+6=0$ là $d=\frac{|3x+y+6|}{\sqrt{10}}$. Ta có $3x+y+6=3x+x+2+\frac{1}{x+2}+6=4(x+2)+\frac{1}{x+2}$. Đặt $t=x+2\ne 0$, xét $f(t)=4t+\frac{1}{t}$. $f^{\prime }(t)=4-\frac{1}{t^2}=0\Rightarrow t=\pm \frac{1}{2}$. Khi đó $f\left(\frac{1}{2}\right)=4$ và $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-4$, nên $|f(t)|$ nhỏ nhất bằng $4$, tức khoảng cách nhỏ nhất $\frac{4}{\sqrt{10}}$, đạt tại hai điểm: với $t=\frac{1}{2}$: $x=-\frac{3}{2}$, $y=x+2+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$, tức $M\left(-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$; với $t=-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{5}{2}$, $y=x+2+\frac{1}{x+2}=-\frac{5}{2}+2-2=-\frac{5}{2}$, tức $N\left(-\frac{5}{2};-\frac{5}{2}\right)$. Vậy $T=a+b+c+d=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=-4$.