Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-(m+2)x}=5^{27}$ có hai nghiệm phân biệt $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện ${\log }_a\left(b^{{\log }_{a}b}\right)-2{\log }_{\sqrt{a}}b+4=0$.

${\log }_a\left(b^{{\log }_{a}b}\right)-2{\log }_{\sqrt{a}}b+4=0\iff {\log }_a^{2}b-4{\log }_{a}b+4=0\iff {\log }_{a}b=2\iff b=a^2$
Vậy ta cần tìm $m$ để phương trình $x^2-(m+2)x+27=0$ có hai nghiệm $a,b$ dương, phân biệt, khác 1, và thỏa mãn $b=a^2$.
Giả sử phương trình có hai nghiệm $a,b$, theo định lý Viète, ta có:
$\{\begin{array}{l}a+b=m+2\\ ab=27\\ a^2=b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=m+2\\ a^3=27\\ a^2=b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=9\\ m+2=12\iff m=10\end{array}$
Thử lại $m=10$, ta thấy phương trình $x^2-12x+27=0$ có hai nghiệm $3;9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy $m=10$.