Tính đạo hàm của các hàm số $y=\sqrt{x^3-3x^2+2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x^3-3x^2+2}$ xác định khi $x^3-3x^2+2\ge 0$. Phân tích thừa số: $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$ (kiểm tra: $(x-1)(x^2-2x-2)=x^3-3x^2+2$ đúng). Phương trình $x^2-2x-2=0$ có nghiệm $x=1\pm \sqrt{3}$. Xét dấu của $(x-1)(x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})$ với ba nghiệm $1-\sqrt{3}\approx -0,73$, $1$, $1+\sqrt{3}\approx 2,73$, ta được $x^3-3x^2+2\ge 0$ khi $x\in [1-\sqrt{3},1]\cup [1+\sqrt{3},+\infty )$. Trên tập xác định, đặt $u=x^3-3x^2+2$ với $u^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$y^{\prime }=\frac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^3-3x^2+2}}=\frac{3x(x-2)}{2\sqrt{x^3-3x^2+2}}.$$ Kiểm tra: tại $x=0$ (thuộc tập xác định vì $u(0)=2>0$), $y^{\prime }(0)=0$ đúng vì $u^{\prime }(0)=0$. Lưu ý $x=2$ không thuộc tập xác định vì $u(2)=-2<0$, nên công thức chỉ áp dụng trên tập xác định đã nêu. Kết luận: $y^{\prime }=\frac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^3-3x^2+2}}$ với $x\in [1-\sqrt{3},1)\cup (1+\sqrt{3},+\infty )$.