Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2^x$; $y=\frac{2}{\sqrt{x}}$; $x=\frac{1}{2}$; $x=4$

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=1$ vì $2^1=\frac{2}{\sqrt{1}}=2$. Trên $[1/2;1]$ thì $\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2^x$, trên $[1;4]$ thì $2^x\ge \frac{2}{\sqrt{x}}$. Do đó $$S={\int }_{1/2}^1\left(\frac{2}{\sqrt{x}}-2^x\right)dx+{\int }_1^4\left(2^x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)dx.$$ Với $\int \frac{2}{\sqrt{x}}dx=4\sqrt{x}$ và $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}$: $$S={\left[4\sqrt{x}-\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_{1/2}^1+{\left[\frac{2^x}{\ln 2}-4\sqrt{x}\right]}_1^4$$ $$=\left(4-\frac{2}{\ln 2}\right)-\left(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\ln 2}\right)+\left(\frac{16}{\ln 2}-8\right)-\left(\frac{2}{\ln 2}-4\right).$$ Phần hằng số: $4-8+4=0$; phần theo $\ln 2$: $\frac{-2+\sqrt{2}+16-2}{\ln 2}=\frac{12+\sqrt{2}}{\ln 2}$. Vậy $$S=-2\sqrt{2}+\frac{12+\sqrt{2}}{\ln 2}.$$ Kiểm tra số: $-2\sqrt{2}\approx -2,8284$; $\frac{12+\sqrt{2}}{\ln 2}=\frac{13,4142}{0,6931}\approx 19,3536$; tổng $S\approx 16,52$. Kết quả trùng với đáp án đã cung cấp; ghi chú sửa lỗi trong dữ liệu nguồn (nói đáp số đúng là $\approx 18,52$) là sai, vì phép tính trên đã kiểm chứng $S\approx 16,52$.