Trong hệ $Oxyz$ cho hình chóp đều $S.OBC$ $B(0;2;0)$, $C\left(\sqrt{3};1;0\right)$, $SO=2$. Gọi $K$, $M$ là trung điểm của $OB$, $BC$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác OBC đều cạnh 2 (OB=OC=BC=2), trọng tâm đáy là $\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;0\right)$, nên $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)$ (SO=2).
a) Sai: $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)\ne \left(\frac{\sqrt{3}}{2};1;\frac{3}{2}\right)$.
b) Điểm cách đều 4 đỉnh nằm trên đường thẳng qua tâm đáy vuông góc đáy: $I=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;c\right)$. IO²=IS² $\Rightarrow \frac{1}{3}+1+c^2=(2-c{)}^2\Rightarrow c=\frac{2}{3}$. Khi đó $2(a+b+c)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+1+\frac{2}{3}\right)=\frac{2(5+\sqrt{3})}{3}\approx 4,49\ne 2+\sqrt{3}\approx 3,73$ → Sai.
c) $M=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $K=(0;1;0)$, $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $\overrightarrow{SK}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};0;-2\right)$. Tích vô hướng $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{1}{2}$ → Đúng.
d) ${\vec{u}}_{OM}=(1;\sqrt{3};0)$, ${\vec{u}}_{SK}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};0;-2\right)$, $\vec{n}={\vec{u}}_{OM}\times {\vec{u}}_{SK}=(-2\sqrt{3};2;1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{17}$, $\overrightarrow{OS}\cdot \vec{n}=-2+2+2=2$. Vậy $d(OM,SK)=\frac{2}{\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}\approx 0,485\ne \frac{2\sqrt{70}}{35}\approx 0,478$ → Sai.
a) Tâm đáy (trọng tâm tam giác đều OBC) là $\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;0\right)$, nên $S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;2\right)$, khác $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1;\frac{3}{2}\right)$.
b) $I=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};1;\frac{2}{3}\right)$ nên $2(a+b+c)=\frac{2(5+\sqrt{3})}{3}\ne 2+\sqrt{3}$.
c) $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{SK}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
d) Khoảng cách thực tế là $\frac{2}{\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}\approx 0,485$, khác $\frac{2\sqrt{70}}{35}\approx 0,478$.