Trong khoảng $(-10;20)$ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $4x{\log }_3(x+1)={\log }_9\left[9(x+1{)}^{2m}\right]$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_3(x+1)$ với điều kiện $x>-1$, khi đó $x=3^t-1$. Phương trình trở thành $4(3^t-1)t=1+mt$, tức $m=4\cdot 3^t-4-\frac{1}{t}$ với $t\ne 0$ (với $t=0$, tức $x=0$: vế trái bằng 0, vế phải bằng 1, không thỏa). Xét $f(t)=4\cdot 3^t-4-\frac{1}{t}$, có $f^{\prime }(t)=4\cdot 3^t\ln 3+\frac{1}{t^2}>0$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$. Với $t>0$: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$ nên với mọi $m$ có đúng 1 nghiệm $t>0$. Với $t<0$: $f$ tăng từ ${\lim }_{t\to -\infty }f(t)=-4$ (không đạt) đến $+\infty$, nên có 1 nghiệm $t<0$ khi và chỉ khi $m>-4$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt $⟺m>-4$. Các giá trị nguyên $m\in (-10;20)$ thỏa: $m\in \{-3,-2,\dots ,19\}$, gồm $19-(-3)+1=23$ giá trị.