Trong không gian $Oxyz$, biết mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz-5=0$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$. và vuông góc với các mặt phẳng $(P):2x-y+3z-2=0$, $(Q):x+y+z-1=0$

Giá trị của $a-b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P) là n_P=(2;-1;3), của (Q) là n_Q=(1;1;1). Vì (α) vuông góc với (P) và (Q) nên n = n_P × n_Q = (-4;1;3). Phương trình (α): -4x + y + 3z + d = 0. Đi qua A(1;2;-1): -4 + 2 - 3 + d = 0 ⇒ d = 5. Vậy (α): -4x + y + 3z + 5 = 0, tương đương 4x - y - 3z - 5 = 0, tức a=4, b=-1, c=-3 (thỏa a·1+b·2+c·(-1)=5). Khi đó a - b + c = 4 + 1 - 3 = 2, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 18 = 2).