Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, biết $b,c>0$, phương trình mặt phẳng $(P):y-z+1=0$. Tính $M=c+b$ biết $(ABC)\perp (P),d\left[O;(ABC)\right]=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình: x + y/b + z/c = 1, VTPT n₁ = (bc; c; b). Mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0 có VTPT n₂ = (0; 1; −1). Vì (ABC) ⊥ (P) nên n₁·n₂ = c − b = 0 ⇒ b = c. Khoảng cách từ O đến (ABC): d = 1/√(1 + 1/b² + 1/c²) = 1/√(1 + 2/b²) = 1/3 ⇒ 1 + 2/b² = 9 ⇒ b² = 1/4 ⇒ b = c = 1/2 (do b, c > 0). Vậy M = c + b = 1.