Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1),B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2-3t\\ z=t\end{array}$ và điểm $A(2;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1-3t\\ z=-1+t\end{array}$ ?

Trong không gian $Oxyz$, xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ có phương trình $$(x-1{)}^2+(y-4{)}^2+(z+2{)}^2=9.$$

Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z-16=0$ có tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là:

Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(A)=0,2$, $P(B)=0,26$, $P(B|A)=0,7$. Tính $P(A|B)$

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì, với $P(B)>0$. Khi đó:

Cho $f(x)=x^2+2x$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Khi đó:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=4+2t\\ z=-3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+y+z-1=0$. Khi đó:

Biết $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2^x-2\right|\mathrm{d}x=\frac{a+b\ln 2}{\ln 2}$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, biết $b,c>0$, phương trình mặt phẳng $(P):y-z+1=0$. Tính $M=c+b$ biết $(ABC)\perp (P),d\left[O;(ABC)\right]=\frac{1}{3}$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(1;4;-3)$ và chứa trục $Ox$. Tính bán kính mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Một cửa hàng bán hoa quả khảo sát 400 người xem họ thích hay không thích hai loại hoa quả cam và chuối. Kết quả cho ở bảng thống kê sau:



Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm.
Tính xác suất để người này thích chuối biết rằng người này thích cam. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;0);B(4;1;2)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính diện tích $S$ của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c$, các đường thẳng $x=-1$, $x=2$ và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.

Trong không gian, xem mặt đất là phẳng, gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong đó mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là $km$). Người ta quan sát thấy có hai chiếc khinh khí cầu đang bay trên bầu trời. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, chiếc thứ nhất đang ở vị trí điểm $A(2;1,5;0,5)$ và bay thẳng về phía Bắc với tốc độ không đổi là $60km/h$, còn chiếc thứ hai đang ở vị trí điểm $B(-1;-1;0,8)$ và bay thẳng về phía Đông với tốc độ không đổi là $40km/h$ (tham khảo hình vẽ).



Biết rằng trong suốt quá trình bay thì hai chiếc khinh khí cầu luôn giữ nguyên độ cao so với mặt đất. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai chiếc khinh khí cầu bằng bao nhiêu $km$? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).