Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;6;0)$, $B(-2;2;-1)$, $C(5;-1;3)$ và $(P):x+y+z-6=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3:
a) Đúng. Phương trình $(P):x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên một VTPT là $\vec{n}=(1;1;1)$.
b) Sai. $\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác $3x-3y+4z+15=0$.
c) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) Đúng. $MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=9-37=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=35-37=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng với $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho $(P)$ được $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$ được $a-10b=-19$. Giải hệ: $b=2$, $a=1$, $c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên $\vec{n}=(1;1;1)$ là một VTPT của $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho phương trình $(P)$: $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$: $a-10b=-19$. Giải ra $b=2,a=1,c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.