Câu 21HSG
Thuộc đề: Đề Khảo Sát Học Sinh Giỏi Liên Trường Môn Toán 12 Sở GD&ĐT Ninh Bình 2025-2026 - Đề Số 2Trong không gian , cho điểm , , .
Trong không gian , cho điểm , , .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Không tồn tại điểm thuộc mặt phẳng sao cho .
b)
Nếu điểm thỏa mãn và song song với mặt phẳng thì tổng .
c)
B là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
d)
Gọi là khối hộp nhận các điểm làm đỉnh và có một đỉnh thuộc trục khác O. Thể tích khối hộp bằng 4.
Đáp án chính thức: a:S,b:S,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Xét A(1;2;-4), B(1;2;0), C(0;2;0).
a) Sai. Lấy M(0;y;z) thuộc (Oyz). MA=MB ⟹ (y-2)²+(z+4)²=(y-2)²+z² ⟹ z=-2. Khi đó MB²=(y-2)²+4=MC² (vì MC²=(y-2)²+z²), nên mọi điểm M(0;y;-2) đều thỏa MA=MB=MC. Vậy tồn tại M, khẳng định 'không tồn tại' sai.
b) Sai. DA=DB=DC ⟹ D nằm trên đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với (ABC). Tam giác ABC vuông tại B (AB=4, BC=1) nên tâm ngoại tiếp là trung điểm AC: I(1/2;2;-2). Mặt phẳng (ABC) có y=2, vtpt n=(0;1;0). OD song song (ABC) ⟹ OD·n=0 ⟹ y=0 ⟹ D=(1/2;0;-2). Khi đó 2x+y-3z=1+0+6=7≠6, khẳng định sai.
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của A(1;2;-4) lên (Oxy) là (1;2;0)=B.
d) Sai. Hộp có O(0,0,0), C(0,2,0), B(1,2,0), A(1,2,-4): các cạnh xuất phát từ O là OC=(0;2;0), (1;0;0) (đỉnh (1;0;0) thuộc Ox), và (0;0;-4). Thể tích = 2·1·4=8≠4, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại M(0;y;-2) thuộc (Oyz) với MA=MB=MC, nên khẳng định 'không tồn tại' sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
D=(1/2;0;-2) nên 2x+y-3z=7≠6, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(1;2;-4) lên (Oxy) là (1;2;0)=B.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các cạnh hộp là (0;2;0),(1;0;0),(0;0;-4), thể tích 8≠4, khẳng định sai.
Xét A(1;2;-4), B(1;2;0), C(0;2;0).
a) Sai. Lấy M(0;y;z) thuộc (Oyz). MA=MB ⟹ (y-2)²+(z+4)²=(y-2)²+z² ⟹ z=-2. Khi đó MB²=(y-2)²+4=MC² (vì MC²=(y-2)²+z²), nên mọi điểm M(0;y;-2) đều thỏa MA=MB=MC. Vậy tồn tại M, khẳng định 'không tồn tại' sai.
b) Sai. DA=DB=DC ⟹ D nằm trên đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với (ABC). Tam giác ABC vuông tại B (AB=4, BC=1) nên tâm ngoại tiếp là trung điểm AC: I(1/2;2;-2). Mặt phẳng (ABC) có y=2, vtpt n=(0;1;0). OD song song (ABC) ⟹ OD·n=0 ⟹ y=0 ⟹ D=(1/2;0;-2). Khi đó 2x+y-3z=1+0+6=7≠6, khẳng định sai.
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của A(1;2;-4) lên (Oxy) là (1;2;0)=B.
d) Sai. Hộp có O(0,0,0), C(0,2,0), B(1,2,0), A(1,2,-4): các cạnh xuất phát từ O là OC=(0;2;0), (1;0;0) (đỉnh (1;0;0) thuộc Ox), và (0;0;-4). Thể tích = 2·1·4=8≠4, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại M(0;y;-2) thuộc (Oyz) với MA=MB=MC, nên khẳng định 'không tồn tại' sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
D=(1/2;0;-2) nên 2x+y-3z=7≠6, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(1;2;-4) lên (Oxy) là (1;2;0)=B.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các cạnh hộp là (0;2;0),(1;0;0),(0;0;-4), thể tích 8≠4, khẳng định sai.