Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a+5b+c$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
IN vuông góc với OM (trục Oz) nên vecto IN có thành phần z bằng 0: (c-6)=0, suy ra c=6. Diện tích tam giác IMO: OM=(0;0;4), OI=(a;b;6), OM×OI=(-4b;4a;0), S=½·4√(a²+b²)=2√(a²+b²)=8 nên a²+b²=16, tức I nằm trên đường tròn tâm O bán kính 4 trong mặt phẳng z=6. IN²=(a-3/2)²+(b-2)², lớn nhất khi I nằm trên tia từ O qua tâm (3/2;2), kéo dài ra đường tròn: I=4·(3/2;2)/(5/2)=(12/5;16/5). Vậy a=12/5, b=16/5, c=6, khi đó 5a+5b+c=12+16+6=34.