Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}$ và $d:\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ y=1+t^{\prime }\\ z=-1+t^{\prime }\end{array}$. Biết rằng có một hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $A,C$ cùng thuộc $Ox$, $B,C^{\prime }$ cùng thuộc $\Delta$ và $D,B^{\prime }$ cùng thuộc $d$, thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

Gọi tọa độ các điểm theo giả thiết:
- $A(a;0;0),C(c;0;0)\in Ox$.
- $B(0;2+b;-b),C^{\prime }(0;2+c^{\prime };-c^{\prime })\in \Delta$.
- $D(\sqrt{2};1+d;-1+d),B^{\prime }(\sqrt{2};1+b^{\prime };-1+b^{\prime })\in d$.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có tính chất các véc-tơ cạnh:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\text{vaˋ}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}.$
Ta có:
- $\overrightarrow{AD}=(\sqrt{2}-a;1+d;-1+d)$.
- $\overrightarrow{BC}=(c;-2-b;b)$.
- $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(-\sqrt{2};2+c^{\prime }-(1+b^{\prime });-c^{\prime }-(-1+b^{\prime }))=(-\sqrt{2};1+c^{\prime }-b^{\prime };1-c^{\prime }-b^{\prime })$.

Từ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}-a=c=-\sqrt{2}\\ 1+d=-2-b=1+c^{\prime }-b^{\prime }\\ -1+d=b=1-c^{\prime }-b^{\prime }\end{array}$
Giải hệ phương trình này:
1. $c=-\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}-a=-\sqrt{2}\iff a=2\sqrt{2}$.
2. Từ $-2-b=1+d$ và $b=-1+d$, cộng hai vế: $-2=2d\iff d=-1$.
Thay vào được $b=-2$.
3. Từ đó: $1+c^{\prime }-b^{\prime }=1+d=0\iff b^{\prime }-c^{\prime }=1$ và $1-c^{\prime }-b^{\prime }=b=-2\iff b^{\prime }+c^{\prime }=3$.
Cộng hai vế: $2b^{\prime }=4\iff b^{\prime }=2\Rightarrow c^{\prime }=1$.

Như vậy ta tìm được tọa độ các đỉnh:
- $A(2\sqrt{2};0;0),B(0;0;2),C(-\sqrt{2};0;0)$.
- $B^{\prime }(\sqrt{2};3;1)$.

Từ đó xác định các véc-tơ xuất phát từ đỉnh $B$:
$\overrightarrow{BA}=(2\sqrt{2};0;-2),\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{2};0;-2),\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(\sqrt{2};3;-1).$
Tích có hướng $[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]$:
$[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]=\left(0;(-2)(-\sqrt{2})-(2\sqrt{2})(-2);0\right)=(0;6\sqrt{2};0).$
Thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là:
$V=\left|[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right|=|0\cdot \sqrt{2}+6\sqrt{2}\cdot 3+0\cdot (-1)|=18\sqrt{2}.$

Chọn đáp án B.