Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3),B(1;1;1)$. Gọi $(C)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ để $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $(C)$ là một đường tròn bán kính $r$. Tính $r$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(4;4;0)\Rightarrow IA=4\sqrt{2}=2R$. Điểm $B(1;1;1)$ có $\overrightarrow{IB}=(1;1;-2)\Rightarrow IB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$. Xét điểm $K$ trên đoạn $IA$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}=(1;1;0)\Rightarrow K(1;1;3)$. Khi đó $IK=\sqrt{2}=\frac{R}{2}$. Với mọi điểm $M\in (S)$, ta có $\frac{MI}{IA}=\frac{KM}{MI}=\frac{1}{2}$, suy ra hai tam giác $\Delta IMK$ và $\Delta IAM$ đồng dạng $\Rightarrow MA=2MK$. Biểu thức trở thành $MA-2MB=2(MK-MB)\ge -2BK$. Dấu bằng xảy ra khi $M,K,B$ thẳng hàng theo thứ tự $M,B,K$, hay $M$ là giao điểm của tia đối của tia $KB$ với mặt cầu $(S)$. Khảo sát tập hợp điểm làm cho khoảng cách đạt cực tiểu trên mặt cầu, ta được đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{7}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn B.