Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta ):x+2y+3z+4=0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x+3y+z-7=0$, $(Q):x-y+z+1=0$. Khi đó $d$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(P):x+3y+z-7=0$ và $(Q):x-y+z+1=0$ có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(3\cdot 1-1\cdot (-1);1\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot (-1)-3\cdot 1)=(4;0;-4)\parallel (1;0;-1)$.
Lấy điểm thuộc giao tuyến: trừ hai phương trình được $4y-8=0\Rightarrow y=2$, khi đó $x+z=1$, chọn $A(1;2;0)$.
Vì $(\alpha )$ chứa giao tuyến nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;b;c)\perp \vec{u}$: $1\cdot 1+c\cdot (-1)=0\Rightarrow c=1$.
Vì $(\alpha )\perp (\beta )$ với $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;2;3)$: $1\cdot 1+2b+3c=0\Rightarrow 1+2b+3=0\Rightarrow b=-2$.
Mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+z+d=0$ qua $A(1;2;0)$: $1-4+0+d=0\Rightarrow d=3$.
Vậy $d=3$.