Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;1),B(0;1;-3)$ và mặt phẳng $(P):x-y-3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng song song với (P) có dạng $x-y+c=0$, khoảng cách đến $(P)$ là $\frac{|c+3|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow |c+3|=4\Rightarrow c=1$ hoặc $c=-7$. Với $(Q):x-y-1=0$ thì $c=-1$, khoảng cách $=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne 2\sqrt{2}$; hơn nữa $(Q):x-y-1=0$ cắt $Ox$ tại $(1;0;0)$ (hoành độ dương) nhưng khoảng cách sai → khẳng định SAI (đáp án đúng phải là $x-y+1=0$ cắt $Ox$ tại $(-1;0;0)$ — không thỏa hoành độ dương — hoặc $x-y-7=0$ cắt $Ox$ tại $(7;0;0)$, thỏa). b) Thay $A(1;-2;1)$: $1-(-2)-3=0$ nên $A\in (P)$ → ĐÚNG. c) VTPT ${\vec{n}}_P=(1;-1;0)$, ${\vec{n}}_P\cdot \vec{k}=0$ nên $(P)$ song song trục $Oz$ → ĐÚNG. d) $\overrightarrow{AB}=(-1;3;-4)$, ${\vec{n}}_{\alpha }=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_P=(-4;-4;-2)\parallel (2;2;1)$. Mặt phẳng qua $A$: $2(x-1)+2(y+2)+(z-1)=0\iff 2x+2y+z+1=0$ (kiểm tra $B$: $0+2-3+1=0$ ✓). Phương trình đề cho $2x+2y+z-1=0$ thay $A$ được $2-4+1-1=-2\ne 0$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $(Q):x-y-1=0$ đến $(P)$ là $\frac{|-1+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne 2\sqrt{2}$; mặt phẳng thỏa khoảng cách là $x-y+1=0$ hoặc $x-y-7=0$, trong đó chỉ $x-y-7=0$ cắt $Ox$ tại hoành độ dương.
b) (AI giải đề cho tôi)
$1-(-2)-3=0$ nên $A\in (P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_P=(1;-1;0)$ vuông góc $\vec{k}=(0;0;1)$ nên $(P)\parallel Oz$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đúng qua $A,B$ vuông góc $(P)$ là $2x+2y+z+1=0$; phương trình $2x+2y+z-1=0$ không đi qua $A$ (thay vào được $-2\ne 0$).