Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí $A(5;-4)$. Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng có phương trình: $x-y-3=0$. Khi đặt máy tại vị trí $M(a;b)$ sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất. Tìm tọa độ điểm $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Tín hiệu sớm nhất khi $MA$ ngắn nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $A(5;-4)$ lên đường thẳng $x-y-3=0$ (có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1)$).

Phương trình tham số đường vuông góc qua $A$: $x=5+t,y=-4-t$. Thay vào đường thẳng: $(5+t)-(-4-t)-3=0\Rightarrow 6+2t=0\Rightarrow t=-3$.

Suy ra $M(5-3;-4+3)=(2;-1)$.

Kiểm tra: $2-(-1)-3=0$ (M thuộc đường thẳng) và $\overrightarrow{AM}=(-3;3)$ cùng phương với $\vec{n}=(1;-1)$. Vậy $M(2;-1)$, khi đó $AM=3\sqrt{2}$ là khoảng cách nhỏ nhất.