Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh $6dm$, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gấp lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm hình vuông ban đầu (cạnh $6dm$) đến đỉnh của hình vuông nhỏ phía trong (các đỉnh nằm trên các đường chéo, hình vuông nhỏ bị xoay $45^{\circ }$). Khi đó cạnh đáy của khối chóp là $a=d\sqrt{2}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $d$.

Mỗi tam giác bị cắt có cạnh đáy là cạnh hình vuông lớn bằng $6$ và đỉnh là đỉnh của hình vuông nhỏ, nên cạnh bên (cạnh bên của khối chóp) có độ dài $l=\sqrt{3^2+(3-d{)}^2}$ (khoảng cách từ đỉnh hình vuông nhỏ đến một góc của cạnh đáy lớn).

Chiều cao khối chóp: $h=\sqrt{l^2-d^2}=\sqrt{9+(3-d{)}^2-d^2}=\sqrt{18-6d}$ với $0<d<3$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{2d^2}{3}\sqrt{18-6d}$.

Xét $f(d)=d^4(18-6d)$, $f^{\prime }(d)=72d^3-30d^4=6d^3(12-5d)=0\Rightarrow d=\frac{12}{5}=2,4$ (thỏa $0<d<3$). $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $V$ lớn nhất tại $d=2,4$.

$V_{\max }=\frac{2\cdot (2,4{)}^2}{3}\sqrt{18-14,4}=\frac{11,52}{3}\sqrt{3,6}=3,84\sqrt{3,6}\approx 7,286\approx 7,3d{m}^3$.