Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ b) $u_n=\frac{3^n}{2^n\cdot n!}$ c) $u_n=(-1{)}^n\cdot \left(2^n+1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21. Xét tính tăng, giảm của các dãy số.

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$. Xét hiệu:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{(n-2)(n+2)-(n-3)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{n^2-4-(n^2-9)}{(n+2)(n+3)}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$$
với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ tăng.

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n\cdot n!}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số:
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{2^{n}n!}{3^n}=\frac{3}{2(n+1)}\le \frac{3}{4}<1$$
với mọi $n\ge 1$. Suy ra $u_{n+1}<u_n$, vậy dãy số $(u_n)$ giảm.

c) $u_n=(-1{)}^n(2^n+1)$. Ta có $u_1=-3$, $u_2=5$, $u_3=-9$, $u_4=17$, ... Các số hạng lần lượt âm, dương xen kẽ nên dãy số không đơn điệu (không tăng và không giảm).