Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chính tắc elip (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đỉnh $(\pm 3;0)$ nên $a=3$, độ dài trục lớn $2a=6$. Hai tiêu điểm $(\pm 1;0)$ nên $c=1$, $b^2=a^2-c^2=8$, trục nhỏ $2b=4\sqrt{2}\approx 5,66$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$; trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, khớp đáp án B (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại trung điểm $AB$, trục $Ox$ dọc theo $AB$. Khi đó elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a=10$ (nửa trục lớn, vì $AB=20$ m) và $b=8$ (chiều cao lớn nhất của nửa elip). Phương trình elip: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Điểm $C$ trên mặt đường cách chân đường hầm (điểm $B$) 3 m nên $C$ có hoành độ $x=10-3=7$ m. Độ cao tại $C$ là tung độ $y$ của điểm trên elip với $x=7$:
$$\frac{49}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{51}{100}=\frac{3264}{100}=32,64\Rightarrow y=\sqrt{32,64}\approx 5,713.$$

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm cách chân đường hầm 3 m là khoảng $5,7$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x²/16 + y²/9 = 1 có a²=16, b²=9 nên c² = a² − b² = 7, c = √7.
a) Thay A(4;0): 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E). Đúng.
b) Tiêu cự = 2c = 2√7 ≠ √7. Sai.
c) Với M ∈ (E): MF₁ + MF₂ = 2a = 8. Kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11, trừ đi ta được MF₂ = 3, suy ra MF₁ = 5. Khi đó 2MF₁ + MF₂ = 10 + 3 = 13. Đúng.
d) Tiêu điểm của (E) là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0), không phải (±2√7; 0). Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án D/S chính thức (mã đề 101): 2a D, 2b S, 2c D, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 16 − 9 = 7 nên c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
MF₁ + MF₂ = 2a = 8; kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5, nên 2MF₁ + MF₂ = 13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0) chứ không phải (±2√7; 0).