Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M(1;-1;2)$ và nhận $\vec{u}=(2;1;3)$ làm vecto chỉ phương.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+4$, đường thẳng $x=3$, trục tung và trục hoành là

Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(B)=0,7$, $P(A\cap B)=0,3$. Tính $P(A|B)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(P)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và $d_2:\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}$.

Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-1$ và $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=3$. Mệnh đề nào say đây là đúng?

$\int x^4\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $400km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình

$$\{\begin{array}{l}x=-300+80t\\ y=-1000+100t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100$ m, chiều rộng $OD=60$ m và tọa độ điểm $B\left(10;10;8\right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z-5=0$. Điểm $M\left(5,1,c\right)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Tìm c.

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ $Oxyz$. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $(P):3x+z+5=0;(Q):x+2z+3=0$. Tính góc (đơn vị độ) giữa $(P)$ và $(Q)$.

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 8 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 4 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét có phương trình $\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}}=\frac{z-z_0}{c}$. Tính $a+c+z_0$.


Hình 5.32

Kết quả của tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos xdx=\frac{\sqrt{a}-b}{2}$. Tính a+b