Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;3)$?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{2x}$. Biết $F(1)=2$, tính giá trị của $F(2)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;10]$ và ${\int }_0^{10}f(x)dx=17$, ${\int }_2^{6}f(x)dx=11$. Tính giá trị tổng $S={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_6^{10}f(x)dx$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(2;3;-2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;3;2)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-1=0$. Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ là

Biết ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e^a+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính hiệu số $a-b$.

Tính nguyên hàm $\int \left(x^2-3^x+\frac{1}{x}\right)dx$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $A(0;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B(1;0;0)$, $D(0;3;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a)$.

Cho hàm số $f(x)=x^2-x$.

Cho parabol $(P):y=x(1-x)$ và đường cong $(C):y=x^3-x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{9}OC$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $ax+by-z+d=0$. Giá trị của biểu thức $a+b+d$ bằng bao nhiêu?

Một nhà kho được mô hình hoá trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ. Hai mái nhà kho là hai hình chữ nhật $EFIK$ và $HGIK$ có các cạnh tương ứng bằng nhau. Biết rằng chiều cao của nhà kho là $9\text{ m}$ (tính từ điểm $I$ đến sàn $ABCD$ của nhà kho), $AB=10\text{ m}$, $AD=24\text{ m}$, $AE=7\text{ m}$. Mặt phẳng $(EFIK)$ có phương trình $ax+y+bz+c=0$. Tính giá trị của biểu thức $a-bc$.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi các đường $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$; $y=0$; $x=0$; $x=3$ quanh trục $Ox$ được viết dưới dạng $\frac{a}{b}\pi$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $a+b$.

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(5;6;-2)$. Gọi ${\alpha }^{\circ }$ là góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn (làm tròn đến độ). Khi đó giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu?

Giá trị trung bình của hàm số liên tục $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ được định nghĩa là $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$. Giả sử nhiệt độ (tính bằng độ) tại thời điểm $t$ giờ trong khoảng thời gian từ $6$ giờ sáng đến $12$ giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó trong năm được mô hình hóa bởi hàm số $T(t)=28+2(t-7)$, với $6\le t\le 12$. Hỏi nhiệt độ trung bình vào ngày đó là bao nhiêu độ?

Gọi ${\alpha }^{\circ }$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(\alpha ):x+y+2z-1=0$ và mặt phẳng $(\beta ):2x-y+z-2=0$. Giá trị $\alpha$ bằng bao nhiêu?