Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Góc giữa hai đường thẳng $B_1{D}_1$ và $B_{1}C$ bằng bao nhiêu độ?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $BC$. Tìm khẳng định đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tìm khẳng định đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SC\perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $BC$. Tìm khẳng định đúng?

Số mặt là hình chữ nhật của hình lăng trụ tứ giác đều ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SB\perp (ABCD)$. Biết $BC=9a,BA=12a$ . Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ ?

Cho $f(x)=4^x-3.2^x$, xác định tính ĐÚNG/SAI của các khẳng định sau:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh $2a$; $SA=2a\sqrt{3}$; $SA\perp (ABCD)$ . Gọi $K$ là điểm trên trên đoạn $SC$ sao cho $CK=2.KS$ . Xác định tính ĐÚNG/SAI của các khẳng định sau:

Tính giá trị của $A$ biết $A=9^{\frac{1}{{\log }_{6}3}}+49^{{\log }_{7}8}$

Cho biểu thức $f(x)=\frac{9^x-2}{9^x+3}$. Biết $x$ là số thỏa mãn $3^x-\frac{1}{2}=0$, khi đó $f(x)=\frac{a}{b}$; $\frac{a}{b}$ tối giản và $a\in \mathbb{Z};b>0;b\in \mathbb{Z}$. Tính $b-a$?

Người ta thiết kế 1 nhịp cầu thang từ tầng 1 lên tầng 2 theo chiều ngang của nhà. Biết rằng chiều ngang của nhà rộng 5 m, chân cầu thang cách tường 1 m, đầu còn lại của cầu thang gắn vào chiếu nghỉ và cách tường 0,9 m. Biết rằng góc giữa nhịp cầu thang với sàn nhà bằng $40^{\circ }$, tính chiều dài của nhịp cầu thang theo đơn vị mét? (kết quả làm tròn đến phần trăm)

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2560 TCN với đáy là một hình vuông có cạnh là $230,36m$, các cạnh bên của kim tự tháp bằng nhau và dài khoảng $213,97m$ (tham khảo hình vẽ).

Vì lí do trùng tu lại kim tự tháp người ta lắp một cây cột sắt (coi như đường thẳng) đi qua trung điểm của một cạnh đáy và một cạnh bên của cùng một mặt bên của kim tự tháp. Đồng thời để đảm bảo an toàn cho công nhân người ta cần tính được khoảng cách giữa cây cột sắt và một cạnh đáy nằm trên mặt bên liền kề với mặt bên chứa cột sắt của kim tự tháp. Khoảng cách đó gần bằng bao nhiêu mét? ( Kết quả lấy đến phần mười)

Anh Minh là chủ khách sạn NGƯỜI YÊU MỚI dự định nâng cấp dịch vụ khách hàng với số tiền 1200 triệu đồng. Hiện Anh ấy đã có 400 triệu đồng . Anh quyết định vay ngân hàng số tiền còn thiếu với lãi suất 12% năm và Anh đặt ra kế hoạch hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, Anh bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và bằng 30 triệu. Hỏi anh ấy cần mấy tháng để trả hết nợ?

Cho hình chóp $S.ABC$. Có $SA\perp (ABC)$; $AB=AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $(SAM)\perp (SBC)$?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=11$, $\widehat{A^{\prime }AB}=30^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }BC}=60^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$.
a) Tính độ dài đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$?
b) Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }D$?