Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(1;2;3)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;-2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t-2\\ y=2+3t\\ z=1+t\end{array}$. Đường thẳng $d$ có một vecto chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R=4$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=4$. Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha ):x+3y+z+1=0$; $(\beta ):2x-y+z-1=0$. Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ là

Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(B)=0,6$; $P(AB)=0,2$. Khi đó $P(A|B)$ bằng

Cho sơ đồ hình cây sau

Khi đó $P(B)$ bằng

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đi theo đường trượt Zipline từ vị trí $A$ cao $20$ m của tháp 1 này sang vị trí $B$ cao $17m$ của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A$ và $B$ lần lượt là $(3;4;20)$ và $(30;27;17)$. Giả sử tọa độ của du khách khi ở độ cao $18m$ là $(a;b;c)$. Tính $a+b$.

rong không gian $Oxyz$, một Cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ kết thúc tại điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$ chuyển động đều theo đường cáp có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ (tham khảo hình bên dưới, đơn vị độ dài trên trục là mét). Tính độ dài đường cáp $AB$.



(Nguồn: https://shutterstock.com)

Hệ thống phòng không “vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để “vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417km. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, một hệ thống "vòm sắt" đang ở vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và một quả tên lửa đang ở vị trí $A(688;185;-8)$ được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-91;-75;0)$.



Giả sử hệ thống "Vòm sắt" gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa khi đó vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar là

Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một bia. Xác suất bắn viên thứ nhất trúng là 0,7. Nếu bắn trúng viên thứ nhất thì khả năng bắn trúng viên thứ hai là 0,8, nhưng nếu bắn trượt viên thứ nhất khả năng bắn trúng viên thứ hai là 0,2. Tính xác suất bắn trúng viên thứ nhất biết rằng viên thứ hai bắn trúng.

Cho hàm số $f(x)=3x^2-2x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-2)$ và $B(2;4;1)$ mặt phẳng $(Q):x+3y+z-1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3),B(0;4;1)$, mặt phẳng $(P):2x+2y-z+1=0$, đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1-2t\\ z=2-t\end{array}$.

Trong một cuộc khảo sát tình trạng công việc trên 900 người chỉ có bằng tốt nghiệp THPT tại một địa phương, người ta thu được số liệu như bảng dưới đây

Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm này. Khi đó

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng $600m$ được đặt tại vị trí $I(200;450;60)$. Vào lúc 5 giờ 00 phút sáng, bạn An đi bộ từ vị trí $A(-100;50;0)$ đến vị trí $B(-100;1250;0)$ trên một đường thẳng với vận tốc không đổi trong thời gian 15 phút. Tính quãng đường từ vị trí $A$ đến vị trí xa nhất mà An có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng 5G trên (đơn vị: mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2: Một căn bệnh có 2\% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99\%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99\% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người được chuẩn đoán kiểm tra và kết quả dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu \%? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 3: Ba chiếc flycam I, II, III được điều khiển cùng bay lên tại tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất (I) cách mặt đất $3m$, cách điểm xuất phát $3m$ về phía nam và $2m$ về phía đông. Chiếc flycam thứ hai (II) cách mặt đất $6m$, cách điểm xuất phát $9m$ về phía nam và $9m$ về phía đông. Chiếc flycam thứ ba (III) cách mặt đất $6m$, cách điểm xuất phát $6m$ về phía bắc và $4m$ về phía tây. Quy ước hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ trùng với điểm xuất phát của ba chiếc flycam, mặt đất là tập hợp các điểm có cao độ bằng 0 cùng với hai trục $Ox,Oy$ lần lượt hướng về phía nam và phía đông. Giả sử nếu giữ nguyên vị trí flycam I, III và flycam II hạ độ cao xuống theo phương vector $\vec{v}=(0;-3;-2)$ với độ dài là $\sqrt{13}km$, thì lúc này trên mặt đất người ta xác định được một vị trí $M$ sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến ba chiếc flycam là ngắn nhất. Tính khoảng cách từ điểm xuất phát $O$ đến vị trí $M$ đó (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 50 người trả lời “sẽ mua”, 90 người trả lời “có thể sẽ mua” và 60 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 60\%, 40\% và 1\%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là $\frac{a}{b}$. Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{1}{2}a+b$.