Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{2}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó $\alpha$ thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $A{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ góc $60^{\circ }$. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Cho hàm số $y=2\ln x-x$. Biết giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;4]$ là $a+\ln b$ $(a;b\in \mathbb{Z})$. Giá trị của biểu thức $a+b$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{u}=(1;-2;0)$ và $\vec{v}=(-1;-2;1)$. Vecto $3\vec{u}+\vec{v}$ có tọa độ là

Trường THPT Y có 42\% học sinh giỏi môn Toán, 38\% học sinh giỏi môn Văn và 20\% học sinh học giỏi cả hai môn Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của nhà trường. Xác suất để chọn được một học sinh không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Văn là

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=6$; công bội $q=\frac{1}{2}$. Hỏi $\frac{3}{128}$ là số hạng thứ mấy?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{khi }x<0\\ x^3& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ có tập xác định là $D$.

Phần trong của một bể nước có hình dạng khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ như hình vẽ (mặt trên của bể là hình vuông $ABCD$). Biết $AB=4$ m, $SA=2\sqrt{6}$ m.

Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$, chiều dương của chuyển động là chiều dương của trục $Ox$ (đơn vị trên trục là mét). Giả sử tại thời điểm $t$ (giây), tọa độ của chất điểm trên trục $Ox$ được tính theo công thức $x(t)=2t^3-12t^2+18t$ với $t\ge 0$.

Một cửa hàng ghi lại dữ liệu của 64 khách hàng trong một giờ cao điểm, bao gồm số tiền mua hàng và phương thức thanh toán. Quản lý cửa hàng tổng hợp dữ liệu vào bảng tần số hai chiều như sau:

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Một hộp sản phẩm loại I cần 3 kg nguyên liệu, 16 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 6 triệu đồng. Một hộp sản phẩm loại II cần 9 kg nguyên liệu, 8 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 4 triệu đồng. Xưởng có 96 kg nguyên liệu và 168 giờ làm việc của nhân công. Hỏi lợi nhuận tối đa mà xưởng sản xuất có thể nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

Người ta cần thiết kế một thùng rác cỡ lớn có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ.

Quy định đưa ra là tổng diện tích của hai đáy bằng 30 m${}^2$ và đường chéo $A{C}^{\prime }=6\text{m}$. Thể tích lớn nhất của thùng rác là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn đến hàng đơn vị).