Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ có tập xác định là $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $f(-2)=\frac{-2+1}{-2-2}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$ → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}$ với mọi $x\in D$ → Đúng.

c) Trên $[3;4]$, hàm số liên tục và $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến: $\min f=f(4)=\frac{5}{2}$, $\max f=f(3)=\frac{4}{2}=4$. Tổng $=4+\frac{5}{2}=\frac{13}{2}\ne \frac{13}{20}$ → Sai.

d) Hàm chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Nếu lấy $x_1=1<2<x_2=3$ thì $f(1)=-2<f(3)=4$, không có $f(x_1)>f(x_2)$ → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (DDSS), khớp bảng đáp án mã đề 0102.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}$ với mọi $x\in D$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;4]$ hàm nghịch biến: $\max f=f(3)=4$, $\min f=f(4)=\frac{5}{2}$, tổng $=\frac{13}{2}\ne \frac{13}{20}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ nghịch biến trên từng khoảng của $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$; ví dụ $x_1=1<x_2=3$ thì $f(1)=-2<f(3)=4$.