Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Một hộp sản phẩm loại I cần 3 kg nguyên liệu, 16 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 6 triệu đồng. Một hộp sản phẩm loại II cần 9 kg nguyên liệu, 8 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 4 triệu đồng. Xưởng có 96 kg nguyên liệu và 168 giờ làm việc của nhân công. Hỏi lợi nhuận tối đa mà xưởng sản xuất có thể nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộp sản phẩm loại I và II ($x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$). Ràng buộc: $3x+9y\le 96$ (nguyên liệu), $16x+8y\le 168$ (giờ làm việc), tức $x+3y\le 32$ và $2x+y\le 21$. Lợi nhuận $P=6x+4y$.

Nghiệm tối ưu liên tục của hệ: giải $x+3y=32$, $2x+y=21$ được $x=6,2$, $y=8,6$ với $P=71,6$; các đỉnh khác $(10,5;0)$ cho $P=63$ và $(0;32/3)$ cho $P\approx 42,67$.

Vì số hộp phải nguyên, xét các điểm nguyên lân cận trong miền chấp nhận được: $(7;7)$: kiểm tra $7+21=28\le 32$, $14+7=21\le 21$, cho $P=42+28=70$; $(6;8)$: $6+24=30\le 32$, $12+8=20\le 21$, $P=68$; $(8;5)$: $P=68$; $(5;9)$: $P=66$. Vậy lợi nhuận tối đa là $70$ triệu đồng, đạt tại $x=7$, $y=7$, khớp với đáp án nguồn 70.