Người ta cần thiết kế một thùng rác cỡ lớn có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ.

Quy định đưa ra là tổng diện tích của hai đáy bằng 30 m${}^2$ và đường chéo $A{C}^{\prime }=6\text{m}$. Thể tích lớn nhất của thùng rác là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ lần lượt là độ dài cạnh đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt tứ giác đều, chiều cao $h$.

**Ràng buộc 1:** Tổng diện tích hai đáy: $a^2+b^2=30$.

**Ràng buộc 2:** Đường chéo $A{C}^{\prime }$. Với hai đáy là hai hình vuông cùng tâm (chiếu của $C^{\prime }$ cách tâm một nửa đường chéo đáy nhỏ theo hướng ngược với $A$), khoảng cách hình chiếu từ $A$ đến $C^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{b\sqrt{2}}{2}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}$. Do đó:
$$A{C}^{\prime 2}=h^2+\frac{(a+b{)}^2}{2}=36.$$

Đặt $p=ab$ với $0<p\le 15$ (do $a^2+b^2=30$ nên $(a+b{)}^2\le 60$). Ta có:
$$h^2=36-\frac{a^2+b^2+2ab}{2}=36-15-p=21-p.$$

Thể tích thùng:
$$V=\frac{h}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)=\frac{h}{3}(30+p).$$

Xét $f(p)=(30+p{)}^2(21-p)$, $p\in (0;15]$:
$$f^{\prime }(p)=2(30+p)(21-p)-(30+p{)}^2=(30+p)(42-3p).$$
$f^{\prime }(p)=0\Rightarrow p=4$ (thỏa mãn), và $f$ tăng trên $(0;4)$, giảm trên $(4;15)$ nên max tại $p=4$.

Khi đó:
$$V_{\max }^2=\frac{(30+4{)}^2(21-4)}{9}=\frac{34^2\cdot 17}{9}\Rightarrow V_{\max }=\frac{34\sqrt{17}}{3}\approx 46,73{\text{m}}^3.$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $V_{\max }\approx 47{\text{m}}^3$, khớp với đáp án đề cho.