(1,5 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a\sqrt{2}$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$.
a. Chứng minh $BD\perp \left(SAC\right)$.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MD$ và $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao hai đường chéo hình thoi. Vì cạnh $a\sqrt{2}$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên $AC=2a\sqrt{2}\cos 30^{\circ }=a\sqrt{6}$, $BD=2a\sqrt{2}\sin 30^{\circ }=a\sqrt{2}$. Đặt hệ trục: $A(0;0;0)$, $C(a\sqrt{6};0;0)$, $B\left(\frac{a\sqrt{6}}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$, $D\left(\frac{a\sqrt{6}}{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$, $M=\left(\frac{a\sqrt{6}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

a) Hình thoi có $BD\perp AC$; vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Mà $AC,SA\subset (SAC)$, cắt nhau, nên $BD\perp (SAC)$.

b) Hai đường thẳng $AB$ (đi qua $A$) và $MD$ (đi qua $D$) có các vectơ chỉ phương $\vec{u}=(\sqrt{6};\sqrt{2};0)$, $\vec{v}=(0;\sqrt{2};\sqrt{3})$ (đã bỏ hệ số $a/2$).
$\vec{u}\times \vec{v}=(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}-0;0-\sqrt{6}\cdot \sqrt{3};\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}-0)=(\sqrt{6};-3\sqrt{2};2\sqrt{3})$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{6+18+12}=6$.
$\overrightarrow{AD}=\left(\frac{a\sqrt{6}}{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot \sqrt{6}+\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)(-3\sqrt{2})=3a+3a=6a$.
Vậy $d(MD,AB)=\frac{6a}{6}=a$.