(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap $(AD\parallel BC),AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=2KB$, $G$ là trung điểm $SD$, $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$.

b. Gọi $L$ là giao điểm của mặt phẳng $(KOH)$ và đường thẳng $SD$. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III): a) Vì K∈AB nên mặt phẳng (AHK) chứa đường thẳng AB, do đó chứa B. Trong tam giác SAD, H là trọng tâm nên H nằm trên trung tuyến kẻ từ A đi qua trung điểm của SD; mà trung điểm SD chính là G, suyận G∈AH⊂(AHK). Mặt khác G∈SD⊂(SBD) và B∈(SBD). Vậy giao tuyến của (AHK) và (SBD) là đường thẳng BG. b) Đặt hệ toạ độ: D là gốc, A=(2,0,0) (coi BC=1, AD=2), B=(p,h,0), C=(p−1,h,0) (do BC∥AD, BC=AD/2), S=(x,y,z) với z≠0. Vì AD=2BC, tam giác OBC đồng dạng ODA nên DO/OB=AO/OC=AD/BC=2, suy ra O=(2/3)B (thuộc BD). K thuộc AB với AK=2KB nên K=(A+2B)/3; H là trọng tâm tam giác SAD nên H=(S+A+D)/3=(S+A)/3; G=S/2. Nhận xét: K−O=A/3 nên KO∥AD. Gọi L=λS (L∈SD). L∈(KOH) nên 3λS=2B+αA+β(S+A−2B). So sánh hệ số theo hệ độc lập {A,B,S}: β=3λ, 2−2β=0⇒β=1, α+β=0⇒α=−1, do đó 3λ=1, λ=1/3, tức L=S/3. Suy ra DL=DG·(DL/DG)=(|S|/3)/(|S|/2)·DG, tức DL/DG=(1/3)/(1/2)=2/3. Đpcm.