Bác Tôm có một cái ao có diện tích $50m^2$ để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 con/$m^2$ và thu được tất cả 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá thu được bác ấy cứ giảm đi 8 con/$m^2$ thì tương ứng sẽ có mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Hỏi vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng khối lượng cá thành phẩm cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

(AI giải đề cho tôi)
Hiện tại: mật độ 20 con/m², ao 50 m² nên tổng số cá là 20·50 = 1000 con, tổng khối lượng 1,5 tấn = 1500 kg, vậy mỗi con nặng 1500/1000 = 1,5 kg.

Gọi x (con/m²) là lượng mật độ giảm đi so với vụ trước (0 ≤ x ≤ 20). Vì cứ giảm 8 con/m² thì mỗi con tăng thêm 0,5 kg nên mỗi con tăng thêm (x/8)·0,5 = x/16 (kg), tức khối lượng mỗi con là 1,5 + x/16 (kg).

Tổng khối lượng cá thành phẩm:
$$P(x)=50(20-x)\left(1,5+\frac{x}{16}\right)=50\left(30-2x-\frac{x^2}{16}\right)$$

Xét hàm $f(x)=30-2x-\frac{x^2}{16}$ trên $[0;20]$: $f^{\prime }(x)=-2-\frac{x}{8}<0$ với mọi $x\ge 0$, nên hàm số nghịch biến trên $[0;20]$.

Vậy $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, tức là bác Tôm không cần giảm mật độ, giữ nguyên mật độ 20 con/m². Khi đó số cá giống cần mua là $20\cdot 50=1000$ con, cho tổng khối lượng 1500 kg (1,5 tấn) — lớn nhất.

(Kiểm tra: nếu giảm 8 con/m² thì tổng khối lượng là 50·12·2 = 1200 kg < 1500 kg, xác nhận việc giảm mật độ chỉ làm giảm tổng sản lượng.)

Đáp số: 1000 con cá giống.