Biết ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+7x+12}=a\ln 5+b\ln 4+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn C.
Phân tích mẫu số thành nhân tử: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$.
Ta có:
$$\frac{1}{x^2+7x+12}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}.$$
Khi đó:
$$I={\int }_0^1\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)dx={(\ln (x+3)-\ln (x+4))|}_0^1$$
$$=(\ln 4-\ln 5)-(\ln 3-\ln 4)=2\ln 4-\ln 5-\ln 3=-\ln 5+2\ln 4-\ln 3.$$
So sánh với $a\ln 5+b\ln 4+c\ln 3$, ta có:
$$a=-1,b=2,c=-1.$$
Thử các phương án:
$2a-3b-8c=2(-1)-3(2)-8(-1)=-2-6+8=0$.
Do đó khẳng định C đúng.