Câu 1: Biết ${\log }_{6}3=a$ và ${\log }_{3}5=b$. Khi đó ${\log }_{108}135=\frac{ma+nab}{2+ka}$ với $m,n,k$ là các số nguyên. Tính $S=4m+3n-2k$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $135=3^3\cdot 5$ nên $\ln 135=3\ln 3+\ln 5=\ln 3(3+b)$. Với $108=2^2\cdot 3^3$: từ ${\log }_{6}3=a$ suy ra $\ln 6=\frac{\ln 3}{a}$, do đó $\ln 2=\ln 6-\ln 3=\ln 3\left(\frac{1}{a}-1\right)=\ln 3\cdot \frac{1-a}{a}$. Vậy $\ln 108=2\ln 2+3\ln 3=\ln 3\left(\frac{2(1-a)}{a}+3\right)=\ln 3\cdot \frac{2+a}{a}$. Suy ra ${\log }_{108}135=\frac{a(3+b)}{2+a}=\frac{3a+ab}{2+a}$, tức $m=3,n=1,k=1$. Khi đó $S=4\cdot 3+3\cdot 1-2\cdot 1=13$, khớp đáp án nguồn.