Câu 3 (1,5 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$. $SA=3a,AB=a,BC=a\sqrt{2}$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên cạnh $SB$ và $SD$.
a) Chứng minh rằng $CD\perp (SAD)$.
b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
c) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (AHK)$.

Hình vẽ:

a) Chứng minh rằng $CD\perp (SAD)$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}CD\perp AD\\ CD\perp SA\text{ do }SA\perp (ABCD)\\ AD\cap SA=\{A\}\end{array}\Rightarrow CD\perp (SAD)$. [0,5 điểm]

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \left(SC,(ABCD)\right)=\left(SC,AC\right)=\widehat{SCA}$. [0,25 điểm]

Xét tam giác vuông $ABC$ có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+(a\sqrt{2}{)}^2}=a\sqrt{3}$.

$\Rightarrow \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

$\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }$.
Vậy giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. [0,25 điểm]

c) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (AHK)$.

Theo câu a ta có: $CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp AK$.

Mặt khác $AK\perp SD$ nên $AK\perp (SCD)$, suy ra $AK\perp SC$ $(1)$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\text{ do }SA\perp (ABCD)\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH$.

Mặt khác $AH\perp SB$ nên $AH\perp (SBC)$, suy ra $AH\perp SC$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $SC\perp (AHK)$. [0,25 điểm]

Mà $SC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (AHK)$. [0,25 điểm]