Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=2026^x-2026^{-x}+{\ln }^{2027}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$. Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình: $f\left[\sqrt{{\log }_{2}x}\cdot {\log }_2^2(2x)\right]+f\left[\sqrt{(m+1){\log }_{2}x}-\left(4+\sqrt{m+1}\right)\sqrt{{\log }_2^{3}x}\right]\le 0$ chứa đúng $32$ giá trị nguyên.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $15$.

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, là hàm số lẻ ($f(-x)=-f(x)$) và đồng biến trên $\mathbb{R}$ (vì $f^{\prime }(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$).
Điều kiện: $x\ge 1,m\ge -1$. Đặt $t=\sqrt{{\log }_{2}x}\ge 0\Rightarrow {\log }_{2}x=t^2$.
Bất phương trình có dạng $f(u)+f(v)\le 0\iff f(u)\le f(-v)\iff u+v\le 0$, trong đó:
$u=t(1+t^2{)}^2=t^5+2t^3+t$, $v=\sqrt{m+1}\cdot t-(4+\sqrt{m+1})t^3$.
Suy ra $u+v\le 0\iff t\left[t^4-(2+\sqrt{m+1})t^2+(1+\sqrt{m+1})\right]\le 0\iff t(t^2-1)\left[t^2-(1+\sqrt{m+1})\right]\le 0$.
Do $t\ge 0$ nên $t=0$ (tức $x=1$) hoặc $1\le t^2\le 1+\sqrt{m+1}\iff 2\le x\le 2^{1+\sqrt{m+1}}$.
Tập nghiệm $S=\{1\}\cup \left[2;2^{1+\sqrt{m+1}}\right]$ chứa đúng $32$ số nguyên $\{1;2;\dots ;32\}$ khi:
$32\le 2^{1+\sqrt{m+1}}<33\iff 5\le 1+\sqrt{m+1}<{\log }_{2}33\iff 16\le m+1<({\log }_{2}33-1{)}^2\approx 16,357\iff 15\le m<15,357$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=15$.