Câu 12. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=2$, $u_{n+1}=u_n^2-u_n+1$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giới hạn của dãy $(s_n)$ với $s_n=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\cdots +\frac{1}{u_n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án B.

Ta có $u_{n+1}-1=u_n^2-u_n=u_n(u_n-1)$.
Bằng quy nạp dễ thấy $u_n\ge 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $u_{n+1}-u_n=(u_n-1{)}^2>0$ nên $(u_n)$ là dãy tăng và ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=+\infty$.
Mặt khác:
$\frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{u_n(u_n-1)}=\frac{1}{u_n-1}-\frac{1}{u_n}\Rightarrow \frac{1}{u_n}=\frac{1}{u_n-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}$.
Cộng vế theo vế từ $k=1$ đến $n$ ta được:
$s_n=\frac{1}{u_1-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}$.
Do ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_{n+1}=+\infty$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }{s}_n=1$.