Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.


- **Ý c) Đúng:** Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin \widehat{BAD}=4a\cdot 4a\cdot \sin 120^{\circ }=8a^2\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$.
- **Ý d) Sai:** Vì $BO\perp AC$ và $BO\perp SH$ nên $BO\perp (SAC)$. Hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$ là $SO$, nên góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\widehat{BSO}$ (không phải $\widehat{BSH}$).
- **Ý b) Sai:** Tam giác $ACD$ đều cạnh $4a$, gọi $M$ là trung điểm $CD$ thì $AM\perp CD$ và $AM=2a\sqrt{3}$.
Kẻ $HK\perp CD$ tại $K$, do $HK\parallel AM$ và $\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}$ nên $HK=\frac{3}{4}AM=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Góc phẳng nhị diện $[S,CD,A]$ là $\widehat{SKH}=\alpha$ với $\tan \alpha =\frac{SH}{HK}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$.
- **Ý a) Đúng:** Gọi $F=AN\cap CD$, vì $N$ là trung điểm $BC$ và $BC\parallel AD$ nên $N$ là trung điểm $AF$, suy ra $PN\parallel SF\subset (SCD)$.
Do đó $d(PN,SM)=d(PN,(SCD))=d(P,(SCD))=\frac{1}{2}d(A,(SCD))=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}d(H,(SCD))=\frac{2}{3}\cdot \frac{SH\cdot HK}{\sqrt{S{H}^2+H{K}^2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.