Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.


- **Ý b) Đúng:** Khi $m=0$, trên $(-2;+\infty )$ ta có $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$.
- **Ý c) Sai:** Khi $m=-1$, $f(x)=1\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2(x+2)$ với $x>-2\iff 2x^2+17x+15=0$ ($x>-2$). Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ (nhận) và $x=-\frac{15}{2}$ (loại vì $<-2$), nên chỉ có $1$ nghiệm.
- **Ý d) Sai:** Khi $0<m<2\sqrt{2}$ thì $\Delta =m^2-8<0$ nên $2u^2+mu+1>0,\forall u\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=f(2-x^2)$ xác định khi $2-x^2+2>0\iff -2<x<2$, tức là $D=(-2;2)$.
- **Ý a) Đúng:** Phương trình tương đương ${\log }_2\sqrt{2x^2+mx+1}+\sqrt{2x^2+mx+1}={\log }_2(x+2)+(x+2)$.
Xét $g(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ h(x)=x^2+(m-4)x-3=0\end{array}$.
Vì $h(-2)=9-2m$, để $h(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$ thì $\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ h(-2)>0\\ \frac{4-m}{2}>-2\end{array}\iff m<\frac{9}{2}$.