Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, sao cho $\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}$. Lấy điểm $N$ trên đường thẳng $B{D}^{\prime }$, lấy điểm $P$ trên đường thẳng $C{C}^{\prime }$ để $M,N,P$ thẳng hàng. Tính tỉ số $\frac{CP}{P{C}^{\prime }}$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án C.


Trong $(ABCD)$ gọi $K=MC\cap BD$. Lấy $M^{\prime }$ trên $A^{\prime }{D}^{\prime }$ sao cho $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{M^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}$ và gọi $K^{\prime }=M^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$.
Khi đó $K{K}^{\prime }=(MC{C}^{\prime })\cap (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $N=K{K}^{\prime }\cap B{D}^{\prime }$ và $P=MN\cap C{C}^{\prime }$.
Vì $MD=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}BC$ nên $\frac{KB}{KD}=\frac{BC}{MD}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{KB}{BD}=\frac{3}{5}$ và $\frac{KM}{MC}=\frac{2}{5}$.
Do $K{K}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ nên $\frac{KN}{D{D}^{\prime }}=\frac{KB}{BD}=\frac{3}{5}\Rightarrow KN=\frac{3}{5}C{C}^{\prime }$.
Mặt khác $K{K}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên $\frac{KN}{CP}=\frac{KM}{MC}=\frac{2}{5}\Rightarrow KN=\frac{2}{5}CP=\frac{2}{5}(P{C}^{\prime }+C{C}^{\prime })$.
Suy ra $\frac{3}{5}C{C}^{\prime }=\frac{2}{5}(P{C}^{\prime }+C{C}^{\prime })\iff P{C}^{\prime }=\frac{1}{2}C{C}^{\prime }\Rightarrow CP=\frac{3}{2}C{C}^{\prime }$. Vậy $\frac{CP}{P{C}^{\prime }}=3$.