Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=AD=2a$, $CD=a$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AD$, biết hai mặt phẳng $(SBI),(SCI)$ cùng vuông góc với đáy và $SI=\frac{3\sqrt{15}a}{5}$. Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ bằng

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án D.


Ta có $(SBI)\perp (ABCD)$ và $(SCI)\perp (ABCD)$ nên $SI\perp (ABCD)$.
Kẻ $IH\perp BC$ tại $H$, suy ra $BC\perp (SIH)\Rightarrow BC\perp SH$. Do đó $\widehat{SHI}$ là góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$.

Ta có $S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AD=3a^2$, $BC=\sqrt{A{D}^2+(AB-CD{)}^2}=a\sqrt{5}$.
Diện tích $△IBC$: $S_{IBC}=S_{ABCD}-S_{ABI}-S_{CDI}=3a^2-a^2-\frac{1}{2}{a}^2=\frac{3}{2}{a}^2$.
Mà $S_{IBC}=\frac{1}{2}IH\cdot BC\Rightarrow IH=\frac{3a^2}{a\sqrt{5}}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Do đó $\tan \widehat{SHI}=\frac{SI}{IH}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SHI}=60^{\circ }$.