Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có góc $\widehat{NMP}$ tù. Đường tròn $(C)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$ có phương trình $x^2+y^2=25$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $NP$ cắt đường tròn $(C)$ tại $E(0;-5)$, $E\ne M$. Biết tam giác $MNP$ có trọng tâm $G\left(-\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right)$ và $M(a;b)$. Tính giá trị của $S=3a^2+4b^2-ab$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 7 (Phần I) chọn đáp án B.

Đường tròn $(C)$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=5$. Gọi $H$ là trực tâm $△MNP$, theo hệ thức Euler ta có $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=(-4;7)\Rightarrow H(-4;7)$.
Vì $M\in (C)$ nên $a^2+b^2=25(1)$.
Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $NP$ chính là đường thẳng $MH$ và đi qua $E(0;-5)$, nên $M,H,E$ thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng $HE$: $3x+y+5=0$. Do $M(a;b)\in HE$ nên $b=-3a-5$.
Thay vào $(1)$: $a^2+(-3a-5{)}^2=25\iff 10a^2+30a=0\iff a=0$ (loại vì trùng $E(0;-5)$) hoặc $a=-3$.
Với $a=-3\Rightarrow b=4\Rightarrow M(-3;4)$.
Vậy $S=3(-3{)}^2+4(4{)}^2-(-3)\cdot 4=27+64+12=103$.