Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, sao cho $\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}$. Lấy điểm $N$ trên đường thẳng $B{D}^{\prime }$, lấy điểm $P$ trên đường thẳng $C{C}^{\prime }$ để $M,N,P$ thẳng hàng. Tính tỉ số $\frac{CP}{P{C}^{\prime }}$.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có góc $\widehat{NMP}$ tù. Đường tròn $(C)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$ có phương trình $x^2+y^2=25$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $NP$ cắt đường tròn $(C)$ tại $E(0;-5)$, $E\ne M$. Biết tam giác $MNP$ có trọng tâm $G\left(-\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right)$ và $M(a;b)$. Tính giá trị của $S=3a^2+4b^2-ab$.

Câu 8. Cho hai hàm số bậc ba $f(x)=3x^3+a{x}^2+bx+c$ và $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx+p$. Hàm số $y=f(x)\cdot g(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng $x=0$ là điểm cực đại của hàm số $y=g(x)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ bằng


Câu 9. Phương trình $\frac{\sin 2x}{\cos x+1}=0$ có tất cả các nghiệm là

Câu 10. Nhiệt độ trung bình của $12$ tháng tại thành phố Hà Nội từ năm $1961$ đến hết năm $1990$ ($30$ năm) được cho trong bảng sau:

| Nhiệt độ (${}^{\circ }\text{C}$) | $[12;14)$ | $[14;16)$ | $[16;18)$ | $[18;20)$ | $[20;22)$ |
|—|—|—|—|—|—|
| Tần số | $1$ | $3$ | $12$ | $9$ | $5$ |


Mốt của mẫu số liệu trên là

Câu 11. Cho hình lập phương có cạnh bằng $24\text{ cm}$ có chứa $3$ lít nước. Đặt một cạnh của hình lập phương tiếp xúc với mặt phẳng nằm ngang rồi nghiêng hình lập phương sao cho một mặt chứa cạnh đó hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc $30^{\circ }$. Khi đó diện tích mặt thoáng của nước có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?


Câu 12. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=2$, $u_{n+1}=u_n^2-u_n+1$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giới hạn của dãy $(s_n)$ với $s_n=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\cdots +\frac{1}{u_n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

Câu 2. Giả sử số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí trong một tháng tại một thành phố công nghiệp được xác định bởi công thức $P(t)=\left|a+b\sin \left[\frac{2\pi }{7}\left(t-\frac{37}{12}\right)\right]\right|,(a;b>0)$ trong đó $t$ là số ngày tính từ ngày thứ Bảy của tuần đầu tiên trong tháng ($t=0$ ứng với ngày thứ Bảy đó).

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)$.

Câu 4. Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may $1$ áo vest hết $2\text{ m}$ vải và cần $20$ giờ; $1$ quần âu hết $1,5\text{ m}$ vải và cần $5$ giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá $900\text{ m}$ vải và số giờ công không vượt quá $6000$ giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá $2$ lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, $1$ chiếc áo lãi $350$ nghìn đồng, $1$ chiếc quần lãi $100$ nghìn đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số áo vest và quần âu phân xưởng cần may.

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=2026^x-2026^{-x}+{\ln }^{2027}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$. Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình: $f\left[\sqrt{{\log }_{2}x}\cdot {\log }_2^2(2x)\right]+f\left[\sqrt{(m+1){\log }_{2}x}-\left(4+\sqrt{m+1}\right)\sqrt{{\log }_2^{3}x}\right]\le 0$ chứa đúng $32$ giá trị nguyên.

Câu 2. Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của $100$ sinh viên được cho ở biểu đồ bên.


Tìm khoảng tứ phân vị của số liệu đó (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3. Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mức nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?


Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Biết rằng cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=2$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Xét $M$ là một điểm di động trên đường thẳng $BD$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $GM$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)


Câu 5. Một nhà địa chất đang khảo sát tại điểm $A$ trên sa mạc và cần di chuyển gấp về trạm nghiên cứu ở điểm $B$ cách $A$ một khoảng $90\text{ km}$. Do địa hình cát đồi hiểm trở, xe chuyên dụng của ông khi chạy trực tiếp trên sa mạc chỉ đạt vận tốc tối đa $30\text{ km/h}$. Cách đường nối $AB$ một khoảng $20\text{ km}$ có một con đường nhựa thẳng song song với $AB$, nơi xe có thể tăng tốc lên tới $50\text{ km/h}$. Để rút ngắn tối đa thời gian di chuyển, nhà địa chất quyết định lái xe qua sa mạc để ra đường nhựa, chạy một đoạn trên đường nhựa rồi mới rẽ qua sa mạc để về $B$. Hãy tính thời gian di chuyển ngắn nhất của ông từ $A$ đến $B$ (Kết quả tính theo giờ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh $A,B,C$ thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn $A,B,C$ chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác $0$ thuộc khoảng $(-6;6)$ và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh $A,B,C$ được nhận thưởng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).